La formula Di Kelly: massimizzazione dei rendimenti

Kelly criterion: massimizzazione rendimenti

Introduzione

Ogni scommessa e ogni investimento può essere rappresentato da una probabilità che un determinato evento avvenga e da un rischio/rendimento. Il criterio di kelly rappresenta quella formula matematica che, prendendo come input queste informazioni, permette agli investitori di minimizzare i rischi e massimizzare i rendimenti derivanti dalle operazioni di trading.

Questa formula venne inventata da John Kelly per conto di Bell Labs e, dopo essere stata pubblicata nel 1956, prese piede in tutto il mondo per la sua utilità e semplicità di utilizzo.

Inizialmente veniva applicata nel mondo delle scommesse, in seguito invece cominciò ad essere utilizzata per gli investimenti, trading e dunque money management. Questo perché la formula, utilizzando le probabilità e il rischio/rendimento (quotazione), aiuta a decidere se entrare o meno in un trade, ma sopprattutto permette calcolare matematicamente quanto capitale dedicare a quella operazione per massimizzare i profitti nel lungo periodo.

In altre parole, il criterio di kelly rappresenta quella frazione di capitale da usare in modo da massimizzare la crescita composta del proprio patrimonio quando facciamo molte operazioni. Infatti, per far si che funzioni correttamente, è necessario avere un numero di campioni più alto possibile, in modo tale da stimare in modo corretto le probabilità di riuscita di queste operazioni.

In pratica si tratterà di portare la statistica a proprio favore, calcolando matematicamente il capitale da utilizzare in base ai propri risultati di trading e in base alla propria strategia.

Kelly criterion

Per capire come funziona il criterio di kelly per gli investimenti, dobbiamo prima capire la differenza tra probabilità, quotazione e valore atteso.

• Probabilità: misura il grado di certezza o incertezza con cui un particolare evento tende a manifestarsi in una specifica istanza. Nel caso del trading viene calcolata dal numero di trade che hanno successo diviso il numero totale di trade. Rappresenta dunque la percentuale di riuscita delle operazioni.
• Quotazione (odds): è un rapporto numerico tra quanto possiamo vincere e quanto possiamo perdere con la posta in gioco. In pratica, nel caso del trading, rappresenta il valore medio dei trade vincenti diviso il valore medio dei trade perdenti.
• Valore atteso: rappresenta il risultato medio che si manifesta dopo una serie di eventi casuali, prendendo in considerazione le stesse odds per un certo periodo. In pratica, considerando sempre lo stesso rapporto tra vincite e perdite e conoscendo le probabilità, abbiamo una stima media delle aspettative.

Valutando le aspettative in base alla probabilità di successo e alle odds, riusciremo dunque ad ottenere un risultato in media positivo, quando nel mercato sono presenti opportunità di profitto.

Prendiamo come esempio il caso di una moneta. La scommessa è che si vince 2$ se esce testa mentre si perde 1$ se esce croce. Le odds sono dunque 2/1 mentre le probabilità sono di 0.5. Inoltre è possibile investire qualunque frazione del capitale. Qual’è il livello ottimale da dedicare a questa scommessa per massimizzare il rendimento nel lungo periodo?

In questa equazione:

• W è la probabilità di vincita (1 – W è la probabilità di perdita)
• R è il rischio/rendimento (odds)

Nel nostro esempio, inserendo i dati otterremo 0.25 ovvero la formula suggerisce che dovremmo dedicare il 25% del capitale per quell’operazione. Questo significa che conoscendo le probabilità e il valore del rischio rendimento, sappiamo matematicamente che non esiste altra frazione di capitale che può portare ad un rendimento maggiore del valore atteso per questa scommessa nel lungo periodo.

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Massimizzare il rendimento nel trading

Ovviamente negli investimenti e nel trading le cose sono più complesse rispetto al lancio della moneta. Questo perché nel caso della moneta le probabilità e il risultato sono noti a priori, mentre nei mercati no. Sebbene la formula è precisa, potrebbero essere meno precise le nostre stime delle probabilità e il calcolo delle odds a nostro favore.

Per utilizzare il kelly criterion in modo ragionevole nel trading occorrerà seguire questi passaggi:

• Accedi ad almeno un campione di un centinaio di trade che hai eseguito. Più ce ne sono e meglio è.
• Calcola la tua probabilità di vincita W.
• Calcola il rapporto tra rischio e rendimento R.
• Applica la formula di kelly e ottieni la frazione che ottimizza i profitti.

Una considerazione da fare è che il criterio di kelly così impostato è massimamente agressivo. Questo perché il valore ottenuto rappresenta il picco dei massimi rendimenti in assoluto, per cui sbagliare gli input può portare anche a risultati disastrosi.

Ricorda che è molto più difficile recuperare una perdita per tornare al capitale iniziale, perché i profitti e le perdite sono asimmetrici, come spiegato in questo articolo.

In genere, trader ed investitori consigliano di non dedicare più del 3% ad operazione qualunque sia il risultato della formula, percentuale che varia in base all’esperienza. Un altro approccio è quello di dimezzare il valore ottenuto dalla frazione di kelly. In questo modo diminuiranno i profitti potenziali, ma diminuiranno più che proporzionalmente i rischi di rovina e grossi drawdown nel valore del portafoglio.

Per questo motivo è necessario prima di tutto fare molta esperienza, per esempio utilizzando un trading journal per annotare le operazioni e quindi poter calcolare questi valori. Più operazioni faremo e più ci avvicineremo ad un valore realistico delle nostre aspettative. Dopo aver fatto una discreta esperienza nei mercati con posizioni senza soldi reali, saremo pronti per utilizzare la nostra strategia di trading.

Il money management non è una scienza perfetta, tuttavia ci permette di avere una guida sulla massimizzazione dei rendimenti e sull’allocazione del capitale nel modo più razionale possibile.